解答题
设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为2，且α1=(1，0，0)T是(A－2E)x=0的解，α2=(0，－1，1)T是(A－6E)x=0的解．
问答题
23.用正交变换将该二次型化成标准形，并写出所用的正交变换和所化的标准形；
【正确答案】由α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2(0，－1，1)T是(A一6E)x=0的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的两个特征值为λ1=2，λ2=6，其对应的特征向量依次为α1=(1，0，0)T，α2=(0，－1，1)T．又由于实二次型f(x1，x2，x3)的秩为2，所以A的另一个特征值为λ3=0，设其对应的特征向量为
α3=(x1，x2，x3)T，
则有α1Tα3=0，α2Tα3=0，即
解得特征向量为
取
单位化得
令
α3=(x1，x2，x3)T，
则有α1Tα3=0，α2Tα3=0，即
解得特征向量为
取
单位化得令
【答案解析】
问答题
24.写出该二次型；
【正确答案】由于
【答案解析】
问答题
25.求方程组f(x1，x2，x3)=0的解．
【正确答案】由于f(x1，x2，x3)=2x2+3(x2－x3)2=0，得
解得
解得【答案解析】