单选题
下列命题正确的是
(A) 若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点．
(B) 若函数f(x)在(a，+∞)内可导，
存在，则
存在．反之亦然．
(C) 设函数f(x)有界，且
存在，则
(A) 若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点．
(B) 若函数f(x)在(a，+∞)内可导，
存在，则存在．反之亦然．(C) 设函数f(x)有界，且
存在，则
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 对于(A)：例如，设函数
可知，点x=0是f'(x)的第一类间断点．故(A)不正确．
[评注] 正确的结论为：若f'(x)在点x0的某邻域内处处有定义，那么当x0为f'(x)的间断点时，只能是第二类间断点．
事实上，设x0为f'(x)的第一类间断点，则
(1) 若二者相等，
，与x0为间断点矛盾．
(2)
，则可推出f'(x0)≠f'+(x0)，从而f'(x0)不存在，矛盾．
对于(B)：例如函数
因此可知，(B)不正确．
对于(C)：例如，函数
在(0，+∞)上有界，且
并不存在．因此(C)不正确．
[评注] 函数在有限点x0处可导，则必在该点连续，极限自然存在，但对于无穷远点，结论并不一定成立．
对于(D)：若存在题设的函数f(x)、g(x)，使得x=f(x)·g(x)，两边关于z求导得，1=f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)，令x=0得1=0，矛盾．故(D)正确．
综上分析，应选(D)．
可知，点x=0是f'(x)的第一类间断点．故(A)不正确．[评注] 正确的结论为：若f'(x)在点x0的某邻域内处处有定义，那么当x0为f'(x)的间断点时，只能是第二类间断点．
事实上，设x0为f'(x)的第一类间断点，则
(1) 若二者相等，
，与x0为间断点矛盾．(2)
，则可推出f'(x0)≠f'+(x0)，从而f'(x0)不存在，矛盾．对于(B)：例如函数
因此可知，(B)不正确．
对于(C)：例如，函数
在(0，+∞)上有界，且并不存在．因此(C)不正确．[评注] 函数在有限点x0处可导，则必在该点连续，极限自然存在，但对于无穷远点，结论并不一定成立．
对于(D)：若存在题设的函数f(x)、g(x)，使得x=f(x)·g(x)，两边关于z求导得，1=f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)，令x=0得1=0，矛盾．故(D)正确．
综上分析，应选(D)．