问答题
设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0 且xf'(x)=f(x)+
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)首先由xf'(x)=f(x)+
ax
2
，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f'(x)一
(取其中一个)，得
ax
2
+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0 (x∈(0，1))． (Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2． 由已知条件得2=∫
0
1
，则C=4一a．因此，f(x)=
ax
2
+(4一a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．
．又f'(x)=3ax+4一a，由此易知一8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅲ)求旋转体的体积． V(a)=π∫
0
1
f
2
(x)dx=π∫
0
1
ax
2
+(4—a)x]
2
dx =π∫
0
1
[
x
4
+x
2
—3x
3
)a
2
+(12x
3
—8x
2
)a+16x
2
]dx=π(
)． (Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于
ax
2
，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f'(x)一
(取其中一个)，得
ax
2
+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0 (x∈(0，1))． (Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2． 由已知条件得2=∫
0
1
，则C=4一a．因此，f(x)=
ax
2
+(4一a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．
．又f'(x)=3ax+4一a，由此易知一8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅲ)求旋转体的体积． V(a)=π∫
0
1
f
2
(x)dx=π∫
0
1
ax
2
+(4—a)x]
2
dx =π∫
0
1
[
x
4
+x
2
—3x
3
)a
2
+(12x
3
—8x
2
)a+16x
2
]dx=π(
)． (Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于
【答案解析】