解答题
16.设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
【正确答案】对(α1，α2，α3
β1，β2，β3)作初等行变换，得
(1)当a≠－1时，r(α1，α2，α3)=3，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，所以β1，β2，β3可由向量组(I)线性表示．
由于行列式
故对任意a，方程组x1β1+x2β2+x3β3=αj(j=1，2，3)都有唯一解，即向量组α1，α2，α3能由向量组(Ⅱ)线性表示．
因此，当a≠－1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价．
(2)当a=－1时，有
β1，β2，β3)作初等行变换，得(1)当a≠－1时，r(α1，α2，α3)=3，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，所以β1，β2，β3可由向量组(I)线性表示．
由于行列式
故对任意a，方程组x1β1+x2β2+x3β3=αj(j=1，2，3)都有唯一解，即向量组α1，α2，α3能由向量组(Ⅱ)线性表示．
因此，当a≠－1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价．
(2)当a=－1时，有
【答案解析】