解答题
设αl=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，-a1，a4，-a3)，α3=(a3，-a4，-a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)记
(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)记
【正确答案】
【答案解析】[证] (Ⅰ)用反证法．假设α1，α2，α3线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得
k1α1+k2α2+k3α3=0． (*)
因
又
j=1，2，3．故将式(*)两端左乘
，j=1，2，3，得
这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则r(A)=3，且AAT是实对称矩阵．则齐次方程组
仅有唯一零解，则对任给的x≠0，
k1α1+k2α2+k3α3=0． (*)
因
又
j=1，2，3．故将式(*)两端左乘，j=1，2，3，得这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则r(A)=3，且AAT是实对称矩阵．则齐次方程组
仅有唯一零解，则对任给的x≠0，