解答题
2.设向量α1=(1，一1，1)T，α2=(1，k，一1)T，α3=(k，1，2)T，β=(4，k2，一4)T．问k取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并求出此线性表示式．
【正确答案】设有数x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β．对此方程组的增广矩阵施行初等行变换：
由阶梯形矩阵可见
(1)当(4一k)(k+1)≠0，即k≠4且k≠一1时，r(A)=r(
)=3，方程组有唯一解．此时，对矩阵B作初等行变换，可得方程组的唯一解为：x1=
．
(2)当k=一1时，r(A)=2，而r(
)=3，方程组无解，故此时β不能由α1，α2，α3线性表示．
(3)当k=4时，对矩阵B作初等行变换：
由阶梯形矩阵可见
(1)当(4一k)(k+1)≠0，即k≠4且k≠一1时，r(A)=r(
)=3，方程组有唯一解．此时，对矩阵B作初等行变换，可得方程组的唯一解为：x1=．(2)当k=一1时，r(A)=2，而r(
)=3，方程组无解，故此时β不能由α1，α2，α3线性表示．(3)当k=4时，对矩阵B作初等行变换：
【答案解析】