问答题
求微分方程y''+2y'+2y=
【正确答案】正确答案：先用三角公式将自由项写成e
－x
+e
－x
cos x，然后再用叠加原理和待定系数法求特解． 对应的齐次方程的通解为 y=(C
1
cos x+C
2
sin x)e
－x
． 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项e
－x
，e
－x
cos x，分别考虑 y''+2y'+2y=e
－x
， ① 与 y''+2y'+2y=e
－x
cos x． ② 对于①，令 y
1
*
=Ae
－x
， 代入可求得A=1，从而得y
1
*
=e
－x
． 对于②，令 y
2
*
=xe
－x
(Bcos x +Csin x)， 代入可求得B=0，
，从而得y
2
*
=
xe
－x
sin x．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y
1
*
+y
2
*
=e
－x
(C
1
cos x+C
2
sin x)+e
－x
+
，从而得y
2
*
=
xe
－x
sin x．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y
1
*
+y
2
*
=e
－x
(C
1
cos x+C
2
sin x)+e
－x
+
【答案解析】