问答题
设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵
，使得
，使得
【正确答案】
【答案解析】[解] 由
得A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=-1，λ
3
=1，且λ
1
=2对应的特征向量为
由A T =A得B T =(A 2 +2E) T =(A 2 ) T +2E=A 2 +2E=B，即B为实对称矩阵．
显然B的特征值为λ 1 =6，λ 2 =λ 3 =3，且B相应于特征值λ 1 =6的特征向量为
．
设B的相应于λ 2 =λ 3 =3的特征向量为
，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以
，即x
1
+x
2
+x
3
=0，于是B的相应于特征值λ
2
=λ
3
=3的线性无关的特征向量为
令
得A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=-1，λ
3
=1，且λ
1
=2对应的特征向量为
由A T =A得B T =(A 2 +2E) T =(A 2 ) T +2E=A 2 +2E=B，即B为实对称矩阵．
显然B的特征值为λ 1 =6，λ 2 =λ 3 =3，且B相应于特征值λ 1 =6的特征向量为
．
设B的相应于λ 2 =λ 3 =3的特征向量为
，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以
，即x
1
+x
2
+x
3
=0，于是B的相应于特征值λ
2
=λ
3
=3的线性无关的特征向量为
令