解答题
21.设三维空间中一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成。过z轴上任意一点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面，与该容器截的水平面为D(z)，该截面是半径为r(z)＝
【正确答案】(Ⅰ)由题意得，t时刻注人容器中水的体积为3t，设此时水面高度为z(t)，由截面已知的立体体积公式得
v(t)＝∫0z(t)D(z)dz＝∫0z(t)πr2(z)dz＝π∫0z(t)[(1－z)2＋z2]dz，
依题意得π∫0z(t) [(1－z)2＋z2]dz＝3t。
(Ⅱ)在(Ⅰ)中结论的两边对t求导得π[(1－z)2＋z2]
＝3，
即
，
因此求
的最大值即求f(z)＝(1－z)2＋z2在[0，1]上的最小值点。
由f'＝2z－2(1－z) ＝2(2z－1)＝
可知，当z＝1/2时,f(z)在[0，1]上取最小值，故z＝1/2时水面上升速度最大。
(Ⅲ)灌满容器时体积为V(t)＝∫01D(z)dz＝π∫0z(t)[(1－z)2＋z2]dz＝
，
因此灌满容器所需的时间为
v(t)＝∫0z(t)D(z)dz＝∫0z(t)πr2(z)dz＝π∫0z(t)[(1－z)2＋z2]dz，
依题意得π∫0z(t) [(1－z)2＋z2]dz＝3t。
(Ⅱ)在(Ⅰ)中结论的两边对t求导得π[(1－z)2＋z2]
＝3，即
，因此求
的最大值即求f(z)＝(1－z)2＋z2在[0，1]上的最小值点。由f'＝2z－2(1－z) ＝2(2z－1)＝
可知，当z＝1/2时,f(z)在[0，1]上取最小值，故z＝1/2时水面上升速度最大。
(Ⅲ)灌满容器时体积为V(t)＝∫01D(z)dz＝π∫0z(t)[(1－z)2＋z2]dz＝
，因此灌满容器所需的时间为
【答案解析】