解答题
15.设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E－BA也可逆．
【正确答案】【证法1】 设C为n阶矩阵，使(E－AB)C=E，则C－ABC=E，左乘n阶方阵B，右乘n阶方阵A，有
BCA－BABCA=BA，
(E－BA)BCA=BA－E+E，
即 (B－BA)(E+BCA)=E，
因而E－BA可逆．
【证法2】 利用分块矩阵的运算．
两边取行列式得
又由于
BCA－BABCA=BA，
(E－BA)BCA=BA－E+E，
即 (B－BA)(E+BCA)=E，
因而E－BA可逆．
【证法2】 利用分块矩阵的运算．
两边取行列式得
又由于
【答案解析】