解答题
已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
【正确答案】
【答案解析】[解] 方法一：令x=(x1，x2，x3，x4)T，则由
得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4．
将α1=2α2-α3代入上式，整理后得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．
由α2，α3，α4线性无关，知
解此方程组得
其中k为任意常数．
方法二：由α2，α3，α4线性无关和α1=2α2-α3+0·α4，知A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只包含一个向量．由
α1-2α2+α3+0·α4=0
知(1，-2，1，0)T为齐次线性方程组Ax=0的一个解，所以其通解为
k为任意常数．
再由
知，(1，1，1，1)T为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为
得 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4．
将α1=2α2-α3代入上式，整理后得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．
由α2，α3，α4线性无关，知
解此方程组得
其中k为任意常数．方法二：由α2，α3，α4线性无关和α1=2α2-α3+0·α4，知A的秩为3，因此Ax=0的基础解系中只包含一个向量．由
α1-2α2+α3+0·α4=0
知(1，-2，1，0)T为齐次线性方程组Ax=0的一个解，所以其通解为
k为任意常数．再由
知，(1，1，1，1)T为非齐次线性方程组Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解为