解答题
18.[2008年] 设a，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置．证明：(I)秩(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩(A)＜2．
【正确答案】注意到A为列向量与行向量相乘的形式有关，其秩的问题要用命题2．2．3．2(5)的结论，即秩(A)≤1解之．
(I)解一 直接利用命题2．2．3．2(5)的结论得秩(ααT)≤1，秩(ββT)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)，得到秩(A)=秩(ααT+ββT)≤秩(ααT)+秩(ββT)≤2．
解二 设α，β为三维列向量：a=[a1，a2，a3]T，β=[b1，b2，b3]T，则
αβT=
[b1，b2，b3]=
(I)解一 直接利用命题2．2．3．2(5)的结论得秩(ααT)≤1，秩(ββT)≤1．再利用命题2．2．3．1(3)，得到秩(A)=秩(ααT+ββT)≤秩(ααT)+秩(ββT)≤2．
解二 设α，β为三维列向量：a=[a1，a2，a3]T，β=[b1，b2，b3]T，则
αβT=
[b1，b2，b3]=【答案解析】