解答题
18.已知函数f(x，y)＝x＋y＋xy，曲线C：x2＋y2＋xy＝3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．
【正确答案】由条件知
，于是梯度为
由梯度与方向导数
的关系，知
于是问题转化为求函数
在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值．
为计算方便可将问题转化为求函数T(x，y)＝H2(x，y)＝(1＋y)2＋(1＋x)2在条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令
则
解得
于是得下列可疑点：A1(1，1)，A2(－1，－1)，A3(2，－1)，A4(－1，2)．
所求最大值为
，于是梯度为由梯度与方向导数
的关系，知于是问题转化为求函数
在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值．为计算方便可将问题转化为求函数T(x，y)＝H2(x，y)＝(1＋y)2＋(1＋x)2在条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令
则
解得
于是得下列可疑点：A1(1，1)，A2(－1，－1)，A3(2，－1)，A4(－1，2)．
所求最大值为
【答案解析】【思路探索】先求函数f(x，y)在点(x，y)处的梯度gradf(x，y)，再求梯度的模｜gradf(x，y)｜；最后求gradf(x，y)在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值．