问答题
已知曲线y=f(x)(x≥0)是微分方程
2y"+y'-y=(4-6x)e-x
的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为0。
2y"+y'-y=(4-6x)e-x
的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为0。
问答题
求曲线y=f(x)到x轴的最大距离；
【正确答案】由题设知函数f(x)是微分方程初值问题
[*]
当x≥0时的特解，方程①的特征方程是2λ2+λ-1=0，其特征根为[*]与λ2=-1，由设非齐次方程特解的规则可知方程①有形式为y*=(Ax+Bx2)e-x的特解，代入方程①可确定常数A=0，B=1，即①有特解y*=x2e-x，不难发现y*满足初值y(0)=y'(0)=0，从而初值问题①，②的解就是y*=x2e-x，即所求曲线的方程为y=f(x)=x2e-x(x≥0)，
由于
[*]
可见曲线y=f(x)(x≥0)到x轴的最大距离在x=2处取得，且此最大距离为f(2)=4e-2。
[*]
当x≥0时的特解，方程①的特征方程是2λ2+λ-1=0，其特征根为[*]与λ2=-1，由设非齐次方程特解的规则可知方程①有形式为y*=(Ax+Bx2)e-x的特解，代入方程①可确定常数A=0，B=1，即①有特解y*=x2e-x，不难发现y*满足初值y(0)=y'(0)=0，从而初值问题①，②的解就是y*=x2e-x，即所求曲线的方程为y=f(x)=x2e-x(x≥0)，
由于
[*]
可见曲线y=f(x)(x≥0)到x轴的最大距离在x=2处取得，且此最大距离为f(2)=4e-2。
【答案解析】
问答题
计算
【正确答案】[*]
【答案解析】
问答题
设幂级数
【正确答案】求解本题的关键是确定幂级数[*]的系数an(n=0，1，2，…)，在系数的递推公式an=an-1+n-1中依次令n=1，2，3，即得
a1=a0=2，
[*]
由此可猜想[*]对n=2，3，4，…成立，用数学归纳法只需证明若[*]成立，则[*]也成立即可，事实上，由(n+1)an+1=an+n可得
[*]
即系数{an}的递推公式对任何n≥2成立，从而幂级数
[*]
即和函数[*]
a1=a0=2，
[*]
由此可猜想[*]对n=2，3，4，…成立，用数学归纳法只需证明若[*]成立，则[*]也成立即可，事实上，由(n+1)an+1=an+n可得
[*]
即系数{an}的递推公式对任何n≥2成立，从而幂级数
[*]
即和函数[*]
【答案解析】[*]