问答题
求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率
【正确答案】正确答案：由曲率计算公式及曲线为凹知，
因为α为曲线在相应点的切线的倾斜角，且cosα＞0，所以
整理得微分方程2y
2
y''=[1+(y')
2
]
2
． 此为缺x的可降阶二阶方程．令
代入上述微分方程，化简为
解得y
2
=(p+1)+y(p
2
+1)C
2
．由于曲线在点(1，1)处切线水平，故y(1)=1，y'(1)=0．于是有 1=1+C
1
，C
1
=0．故得y=p
2
+1，即
由于曲线是凹的，y=1不是解，再将
分离变量后积分得
由y(1)=1，所以C
2
=－1，得
因为α为曲线在相应点的切线的倾斜角，且cosα＞0，所以
整理得微分方程2y
2
y''=[1+(y')
2
]
2
． 此为缺x的可降阶二阶方程．令
代入上述微分方程，化简为
解得y
2
=(p+1)+y(p
2
+1)C
2
．由于曲线在点(1，1)处切线水平，故y(1)=1，y'(1)=0．于是有 1=1+C
1
，C
1
=0．故得y=p
2
+1，即
由于曲线是凹的，y=1不是解，再将
分离变量后积分得
由y(1)=1，所以C
2
=－1，得
【答案解析】