【正确答案】 D

【答案解析】[解析] 显然，由A ⁱ X=0，两边左乘以A，得A ⁱ⁺¹ X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立．反之，若A ⁱ⁺¹ X=0，是否有A ⁱ X=0．
对A，取 [*] A ² =0，取X=[0，0，0，1] ^T ，则A ² X=0X=0，但 [*] 故A不是同解方程组．
对B，取 [*] A ³ =0，取X=[0，0，0，1] ^T ，则A ³ X=0，但 [*] 故B不是同解方程组．
对C，取 [*] A ⁴ =0，取X=[0，0，0，1] ^T ，则A ⁴ X=0，但 [*] 故C不是同解方程组．
由排除法知，应选择D．
对于D：易知A ⁴ X=0 [*] A ⁵ X=0，要证A ⁵ X=0 [*] A ⁴ X=0，用反证法，设A ⁵ X=0，而A ⁴ X≠0，因5个四维向量X，AX，A ² X，A ³ X，A ⁴ X必线性相关，存在不全为零的数k ₀ ，k ₁ ，k ₂ ，k ₃ ，k ₄ 使得
k ₀ X+k ₁ AX+k ₂ A ² X+k ₃ A ³ X+k ₄ A ⁴ X=0． (*)
对(*)式两边左乘A ⁴ ，得
k ₀ A ⁴ X+k ₁ A ⁵ X+k ₂ A ⁶ X+k ₃ A ⁷ X+k ₄ A ⁸ X=0 [*] k ₀ A ⁴ X=0，
又A ⁴ X≠0得k ₀ =0，将k ₀ =0代入(*)式，类似的再两边左乘A ³ ，可得k ₁ =0，同理可得k ₂ =k ₃ =k ₄ =0，这和X，AX，A ² X，A ³ X，A ⁴ X线性相关矛盾，故A ⁵ X=0 [*] A ⁴ X=0．(一般的，当A为n阶方阵时，有A ⁿ⁺¹ X=0 [*] A ⁿ X=0)
故A是四阶方阵时，A ⁴ X=0和A ⁵ X=0是同解方程组．