解答题
3.已知
【正确答案】(Ⅰ)ATA=
由r(ATA)=2，可得
=(a+1) 2 (a2+3)=0
可知a=－1。
(Ⅱ)二次型f的矩阵B=ATA=
则
｜λE－B｜=
=λ(λ－2)(λ－6)=0，
解得B矩阵的特征值为λ1=0；λ2=2；λ3=6。
对于λ1=0，解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=(1，1，一1)T；
对于λ2=2，解(λ2E—B)x=0得对应的特征向量为η2=(1，一1，0)T；
对于λ3=6，解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=(1，l，2)T。
将η1 ，η2 ，η3单位化可得
由r(ATA)=2，可得
=(a+1) 2 (a2+3)=0可知a=－1。
(Ⅱ)二次型f的矩阵B=ATA=
则
｜λE－B｜=
=λ(λ－2)(λ－6)=0，解得B矩阵的特征值为λ1=0；λ2=2；λ3=6。
对于λ1=0，解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=(1，1，一1)T；
对于λ2=2，解(λ2E—B)x=0得对应的特征向量为η2=(1，一1，0)T；
对于λ3=6，解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=(1，l，2)T。
将η1 ，η2 ，η3单位化可得
【答案解析】