计算题
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
问答题
7.求该椭圆的离心率和标准方程；
【正确答案】如图，设所求椭圆的标准方程为
=1(a＞b＞0)，右焦点为F2
(c，0)．因△AB1B2是直角三角形，又因为|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，
因此|OA|=|OB2|，得b=
．结合c2=a2－b2得4b2=a2－b2，故a2=5b2，c2=4b2．所以离心率e=
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2=
·| B1B2|·|OA|=| OB2|．|OA|=
·b=b2，由题设条件S△AB1B2=4得b2=4，从而a2=5b2=20．因此所求椭圆的标准方程为：
=1.
=1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c，0)．因△AB1B2是直角三角形，又因为|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，
因此|OA|=|OB2|，得b=
．结合c2=a2－b2得4b2=a2－b2，故a2=5b2，c2=4b2．所以离心率e=在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2=·| B1B2|·|OA|=| OB2|．|OA|=
·b=b2，由题设条件S△AB1B2=4得b2=4，从而a2=5b2=20．因此所求椭圆的标准方程为：=1.【答案解析】
问答题
8.过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
【正确答案】由(Ⅰ)知B1(－2，0)，B2(2，0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x=my－2．代入椭圆方程得(m2+5)y2－4my－16=0．
设P(x1，y1)、Q(x1，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1+y2=
,y1·y2=－
,又因为
=(x1－2，y1)，
=(x2—2，y2)，所以
=(x1－2)(x2—2)+y1y2=(my1－4)(my2—4)+y1y2=(m2+1)y1y2—4m(y1+y2)+16=－
，由PB2⊥QB2，得
设P(x1，y1)、Q(x1，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1+y2=
,y1·y2=－,又因为=(x1－2，y1)，=(x2—2，y2)，所以=(x1－2)(x2—2)+y1y2=(my1－4)(my2—4)+y1y2=(m2+1)y1y2—4m(y1+y2)+16=－，由PB2⊥QB2，得【答案解析】