解答题
12.在某国，每年有比例为P的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。
(I)求关系式
中的矩阵A；
(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即
(I)求关系式
中的矩阵A；(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即
【正确答案】由题意，人口迁移的规律不变xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn，用矩阵表示为
得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1一P—q。
当λ1=1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量
当λ2=r时，解方程(A—rE)x=0，得特征向量
令P=(P1，P2)=
，则
于是
得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1一P—q。
当λ1=1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量
当λ2=r时，解方程(A—rE)x=0，得特征向量
令P=(P1，P2)=
，则于是
【答案解析】