解答题
5.设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。
【正确答案】方法一：对函数ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得
ln2b－ln2a=2lnξ／ξ(b－a)，a＜ξ＜b。
设φ(t)=lnt／t，φ'(t)=(1－lnt)／t2，当t＞e时，φ'(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，
即lnξ／ξ＞lne2／e2=2／e2，故
ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。
方法二：设φ(x)=ln2x－
x，则
因此当x＞e时，φ"(x)＜0，故φ'(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，φ'(x)＞φ'(e2)=
=0，即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加。
因此当e＜a＜b＜e2时，φ(b)＞φ(a)，即ln2b－
b＞ln2a－
ln2b－ln2a=2lnξ／ξ(b－a)，a＜ξ＜b。
设φ(t)=lnt／t，φ'(t)=(1－lnt)／t2，当t＞e时，φ'(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，
即lnξ／ξ＞lne2／e2=2／e2，故
ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。
方法二：设φ(x)=ln2x－
x，则因此当x＞e时，φ"(x)＜0，故φ'(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，φ'(x)＞φ'(e2)=
=0，即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加。因此当e＜a＜b＜e2时，φ(b)＞φ(a)，即ln2b－
b＞ln2a－【答案解析】