解答题
4.(2001年试题，十二)设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为
求统计量
求统计量
【正确答案】由题设所给统计量
的结构特点，可视(X1+Xn+1)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2n)为取自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则该样本均值为
且有样本方差为
由于已知
，因此E(Y)=(n—1)(2σ2)=2(n一1)σ2解析二设
则
，因此
解析三设Z=Xi+Xn+i，i=1，2，…，n．因为X1，X2，…，Xn(n≥2)相互独立且同服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，所以Z1，Z2，…，Zn也相互独立且服从正态分布．E(Zi)=E(Xi+Xn+i)=E(Xi)+E(Xn+i)=2μ，D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)=2σ2，即有Zi一N(2μ，2σ2)，i=1，2，…，n．从而Zn，Z2，…，Zn可视为取从总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，进而有：
故
又
则
即有E(Y)=2(n一1)σ2
[解析四]因为X1，X2，…，Xn(n≥2)相互立且同服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，所以有：g(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，E(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)=σ2+μ2，i=1，2，…，2n；
又
故而
的结构特点，可视(X1+Xn+1)，(X2+Xn+2)，…，(Xn+X2n)为取自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，则该样本均值为且有样本方差为由于已知，因此E(Y)=(n—1)(2σ2)=2(n一1)σ2解析二设则，因此解析三设Z=Xi+Xn+i，i=1，2，…，n．因为X1，X2，…，Xn(n≥2)相互独立且同服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，所以Z1，Z2，…，Zn也相互独立且服从正态分布．E(Zi)=E(Xi+Xn+i)=E(Xi)+E(Xn+i)=2μ，D(Zi)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)=2σ2，即有Zi一N(2μ，2σ2)，i=1，2，…，n．从而Zn，Z2，…，Zn可视为取从总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本，进而有：故又则即有E(Y)=2(n一1)σ2[解析四]因为X1，X2，…，Xn(n≥2)相互立且同服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，所以有：g(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，E(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)=σ2+μ2，i=1，2，…，2n；
又故而【答案解析】解析中的几种解法包括直接计算的(解析四)、利用样本方差性质的(解析一)、利用随机变量的独立性的(解析二)和利用x2分布的构成与性质的(解析三)．总体来讲，直接计算的计算量最大，也最容易出错，也是最容易想到的而其他几种解法则要求考生熟练掌握相关的知识点，会灵活运用．