【正确答案】[解] (Ⅰ)二次型矩阵，由于二次型f的秩为2，
即r(A)=2，所以有
(Ⅱ)当a=0时，由
知矩阵A的特征值是2，2，0．
对λ=2，由
得特征向量α₁=(1，1，0)^T，α₂=(0，0，1)^T．
对λ=0，由
得特征向量α₃(1，-1，0)^T．
由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有

令，那么，经正交变换x=Qy有

(Ⅲ)[方法一] 由(Ⅱ)知，在正交变换x=Qy下，f(x₁，x₂，x₃)=0化成，解之得y₁=0，y₂=0，y₃=t(t为任意实数)，从而

即方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解是k(1，-1，0)^T，k为任意实数．
[方法二] 由于，所以

其通解为x=k(-1，1，0)^T，其中k为任意常数．