解答题
若函数φ(x)及
是n阶可微的，且
，k=0，1，2，…，n-1．又x＞x0时，
．试证：当x＞x0时，
是n阶可微的，且，k=0，1，2，…，n-1．又x＞x0时，．试证：当x＞x0时，
【正确答案】
【答案解析】[证] 令
．在[x0，x]上用微分中值定理得
u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)=u(n)(ξ)·(x-x0)，x0＜ξ＜x．
又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即当x＞x0时，
同理
归纳有u(n-3)(x)＞0，…，u'(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，
．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)=u(n)(ξ)·(x-x0)，x0＜ξ＜x．
又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)-u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(n-1)(x)＞0，即当x＞x0时，
同理
归纳有u(n-3)(x)＞0，…，u'(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，