问答题
已知下列各种初始状态(长度为n)元素，试问当利用直接插入法进行排序时，至少需要进行多少次比较(要求排序后的文件按关键字从大到小顺序排列)?
(1)关键字自小到大有序(key
1
＜key
2
＜…＜key
n
)；
(2)关键字自大到小逆序(key
1
＞key
2
＞…＞key
n
)；
(3)奇数关键字顺序有序，偶数关键字顺序有序(key
1
＜key
3
)＜…，key
2
＜key
4
＜…)；
(4)前半部分元素按关键字顺序有序，后半部分元素按关键字顺序逆序(key
1
＜key
2
＜…＜key
m
，key
m+1
＞key
m+2
＞…＞key
n
，m为中间位置)。
【正确答案】
【答案解析】本题主要考查直接插入法的算法思想及性能分析。
根据题目所给出的条件，最好情况下的比较次数即为最少比较次数。
(1)在关键字自小到大有序的情况下，插入第i个(2≤i≤n)元素的比较次数为1，因此，总的比较次数为1+1+1+…+1=n-1。
(2)在关键字自大到小有序的情况下，插入第i个(2≤i≤n)元素的比较次数为i，因此，总的比较次数为2+3+4+…+n=[n(n+1)/2]-1=(n-1)(n+2)/2。
(3)在奇数关键字顺序有序和偶数关键字顺序有序的情况下，比较次数最少的情况是所有记录关键字均按升序排列，这时，总的比较次数为n-1。
(4)在前半部分元素按关键字有序，后半部分按关键字逆序的情况下，后半部分元素的关键字均大于前半部分元素的关键字时比较次数最少，此时前半部分的比较次数为m-1，后半部分的比较次数为(n-m-1)(n-m+2)/2，因此，总的比较次数为m-1+(n-m-1)(n-m+2)/2=(n-2)(n+8)/8(假设n为偶数，m=n/2)。