问答题
求(y
3
－3x
2
y－3x
2
y)dx+(3xy
2
－3x
2
y－x
3
+y
2
)dy=0的通解．
【正确答案】正确答案：可以验知，这是全微分方程．按解全微分方程办法解之． 记P(x，y)=y
3
－3xy
2
－3x
2
y，Q(x，y)=3xy
2
－3x
2
y－x
3
+y
2
，有
故知这是全微分方程． 分项组合观察法．将原方程通过观察分项组合 (y
3
－3xy
2
－3x
2
y)dx+(3xy
2
－3x
2
y－x
3
+y
2
)dy =(y
3
dx+3xy
2
dy)－3xy(ydx+xdy)－(3x
2
ydx+x
3
dy)+y
2
dy =0． 即
所以通解为
故知这是全微分方程． 分项组合观察法．将原方程通过观察分项组合 (y
3
－3xy
2
－3x
2
y)dx+(3xy
2
－3x
2
y－x
3
+y
2
)dy =(y
3
dx+3xy
2
dy)－3xy(ydx+xdy)－(3x
2
ydx+x
3
dy)+y
2
dy =0． 即
所以通解为
【答案解析】