填空题
设α
1
，α
2
，α
3
，α
4
都是n维向量．判断下列命题是否成立．
①如果α
1
，α
2
，α
3
线性无关，α
4
不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，则α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．
②如果α
1
，α
2
线性无关，α
3
，α
4
都不能用α
1
，α
2
线性表示，则α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．
③如果存在n阶矩阵A，使得Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
线性无关，则α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．
④如果α
1
=Aβ
1
，α
2
=Aβ
2
，α
3
=Aβ
3
，α
4
=Aβ
4
，其中A可逆，β
1
，β
2
，β
3
，β
4
线性无关，则α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．
其中成立的为 1．
【正确答案】
1、正确答案：①，③，④．
【答案解析】解析：②明显不对，例如α
3
不能用α
1
，α
2
线性表示，而α
3
=α
4
时，α
3
，α
4
都不能用α
1
，α
2
线性表示但是α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关． ③容易用秩说明：Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
的秩即矩阵(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
)的秩，而(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
)=A(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)，由矩阵秩的性质④， r(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
)≤r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)．Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
无关，秩为4，于是α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的秩也一定为4，线性无关． ④也可从秩看出：A可逆时，r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=r(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
，Aα
4
)=4．