解答题
12.设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．
【正确答案】对任意的χ1，χ2∈(a，b)且χ1≠χ2，取χ0＝
，由泰勒公式得
f(χ)＝f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)＋
(χ－χ0)2，其中ξ介于χ0与χ之间．
因为f〞(χ)＞0，所以f(χ)≥f(χ0)＋f′χ0)(χ－χ0)，“＝”成立当且仅当“χ＝χ0”，
从而
两式相加得f(χ0)＜
，
即
，由泰勒公式得f(χ)＝f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)＋
(χ－χ0)2，其中ξ介于χ0与χ之间．因为f〞(χ)＞0，所以f(χ)≥f(χ0)＋f′χ0)(χ－χ0)，“＝”成立当且仅当“χ＝χ0”，
从而
两式相加得f(χ0)＜
，即
【答案解析】