问答题
设二次型
经过正交变换X=QY化为标准形
经过正交变换X=QY化为标准形
问答题
求a，b的值；
【正确答案】
【答案解析】解：由已知得，二次型矩阵
因为
所以A～Λ，于是A的特征值为1，1，4．
思路一：由
得a=2．
得b=1．
思路二：由|λE-A|=λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有
λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)=(λ-1) 2 (λ-4)
=λ 3 -6λ 2 +9λ-4．
建立方程组
因为
所以A～Λ，于是A的特征值为1，1，4．
思路一：由
得a=2．
得b=1．
思路二：由|λE-A|=λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有
λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2 +2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)=(λ-1) 2 (λ-4)
=λ 3 -6λ 2 +9λ-4．
建立方程组
问答题
求正交矩阵Q．
【正确答案】
【答案解析】解：当λ
1
=λ
2
=1时，由(E-A)X=0得
当λ 3 =4时，由(4E-A)X=0得
显然ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 两两正交，单位化为
则正交矩阵为
当λ 3 =4时，由(4E-A)X=0得
显然ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 两两正交，单位化为
则正交矩阵为