问答题
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为对应特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，令β=α1+α2α3．若α1，α2，α3为Bx=0的基础解系，试求β，Aβ，A2β也为Bx=0的基础解系的条件．
【正确答案】若α1，α2，α3为Bx=0基础解系，则Bα1=0，Bα2=0，Bα3=0．
则Bβ=B(α1+α2+α3)=Bα1+Bα2+Bα3=0，
所以β，Aβ，A2β也为Bx=0的解．
则β，Aβ，A2β为Bx=0的基础解系的条件为β，Aβ，A2β线性无关．
令k1β+k2Aβ+k3A2β=0，则
，
整理后得
．
因为α1，α2，α3为基础解系，从而线性无关，所以
．故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零，即
则Bβ=B(α1+α2+α3)=Bα1+Bα2+Bα3=0，
所以β，Aβ，A2β也为Bx=0的解．
则β，Aβ，A2β为Bx=0的基础解系的条件为β，Aβ，A2β线性无关．
令k1β+k2Aβ+k3A2β=0，则
，整理后得
．因为α1，α2，α3为基础解系，从而线性无关，所以
．故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零，即【答案解析】