解答题
26.[2007年] 求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．
【正确答案】(1)先求D内的驻点及其函数值．由
得驻点
即f(x，y)在D内有2个驻点：
，其函数值为f(Mi)=2(i=1，2)．
(2)求f(x，y)在D的边界上的最大值与最小值．D的边界
由Γ1和Γ2两部分所组成．在直线段Γ1上，有
-2≤x≤2， y=0， 则 f(x，y)=x2，
此时f(x，y)的最小值为0，最大值为f(±2，0)=22=4．
在上半圆周Γ2：y2=4一x2(一2≤x≤2)上，有
f(x，y)=x2+2y2-x2y2=x2+2(4一x2)-x2(4一x2)
=8—5x2+x4=(x2一5／2)2+7／4 (一2≤x≤2)，
为方便计，令g(x)=(x2一5／2)2+7／4，则g'(x)=4x(x2一5／2)，由g'(x)=0得到x1=0，x2,3=
．而
g(x1)=g(0)=8，g(x2,3)=
得驻点
即f(x，y)在D内有2个驻点：
，其函数值为f(Mi)=2(i=1，2)．(2)求f(x，y)在D的边界上的最大值与最小值．D的边界
由Γ1和Γ2两部分所组成．在直线段Γ1上，有
-2≤x≤2， y=0， 则 f(x，y)=x2，
此时f(x，y)的最小值为0，最大值为f(±2，0)=22=4．
在上半圆周Γ2：y2=4一x2(一2≤x≤2)上，有
f(x，y)=x2+2y2-x2y2=x2+2(4一x2)-x2(4一x2)
=8—5x2+x4=(x2一5／2)2+7／4 (一2≤x≤2)，
为方便计，令g(x)=(x2一5／2)2+7／4，则g'(x)=4x(x2一5／2)，由g'(x)=0得到x1=0，x2,3=
．而g(x1)=g(0)=8，g(x2,3)=
【答案解析】