单选题 设向量组I:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示。下列命题正确的是______。
  • A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
  • B.若向量组Ⅰ线性相关,则r>s
  • C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
  • D.若向量组Ⅱ线性相关,则r>s
【正确答案】 A
【答案解析】[解析] 设A=(α1,α2,…,αr),B=(β1,β2,…,βs),由题设知向量组I:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示,即A=BKs×r(其中K为系数矩阵)。令Ax=0[其中x=(x1,x2,…,xr)T],即在A=BKs×r,等号两侧同乘以x。
若向量组Ⅰ线性无关,则R(A)=r[*]Ax=0只有零解[*]BKs×rx=0只有零解。
(利用反证法)若r>s,有R(K)≤s<r[*]BKx=0有非零解,与之相矛盾,所以r≤s,所以正确答案为(A)。