解答题
设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+33．
问答题
15.求矩阵B．使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；
【正确答案】由题设条件，有
可知
可知
【答案解析】本题主要考查矩阵的基本运算．相似矩阵的性质(相似矩阵有相同的特征值)，矩阵的特征值与特征向量的计算以及矩阵对角化的方法．由题设，容易求得矩阵B．由A与B相似，要求矩阵A的特征值，仅需求矩阵B的特征值，最后求可逆矩阵P即可．
问答题
16.求矩阵A的特征值；
【正确答案】因为α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，可知矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以C-1AC=B，即矩阵A与B相似．由此可得矩阵A与B有相同的特征值．
由
由
【答案解析】
问答题
17.求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
【正确答案】对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E-B)x=0，得基础解系
ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；
对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系
ξ3=(0，1，1)T．
令矩阵
则
因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵
ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；
对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E-B)x=0，得基础解系
ξ3=(0，1，1)T．
令矩阵
则
因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵
【答案解析】