问答题
设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为
【正确答案】正确答案：本题可以按以下公式先算出Z的分布函数F
Z
(z)： F
Z
(z)=
f
X
(x)f
Y
(y)dxdy(其中D
z
={(x，y)|2x+y≤z})， 然后对F
Z
(z)求导算出f
Z
(z)，但较麻烦． 记U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得
于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
Z(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z一u)du． 由于f
U
(u)f
Y
(z一u)=
即f
U
(u)f
Y
(z一u)仅在D
z
={(u，z)|0＜u＜2，z—u＞0}(如图3一11的阴影部分)上取值
在uOz平面的其他部分都取值为0，所以 当z＜0时，f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z—u)du=∫
-∞
+∞
0du=0; 当0≤z＜2时，f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z—u)du=
当z≥2时，f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=
由此得到
f
X
(x)f
Y
(y)dxdy(其中D
z
={(x，y)|2x+y≤z})， 然后对F
Z
(z)求导算出f
Z
(z)，但较麻烦． 记U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得
于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
Z(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z一u)du． 由于f
U
(u)f
Y
(z一u)=
即f
U
(u)f
Y
(z一u)仅在D
z
={(u，z)|0＜u＜2，z—u＞0}(如图3一11的阴影部分)上取值
在uOz平面的其他部分都取值为0，所以 当z＜0时，f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z—u)du=∫
-∞
+∞
0du=0; 当0≤z＜2时，f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z—u)du=
当z≥2时，f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=
由此得到
【答案解析】