问答题
设函敖φ(x)可导，且满足φ(0)=0，又φ'(x)单调减少。
问答题
证明对x∈(0，1)，有φ(1)x＜x(x)＜φ'(0)x；
【正确答案】方法1。当x∈(0，1)时φ(1)x＜φ(x)＜φ'(0)x[*]当x∈(0，1)时φ(1)
[*]
考察 [*]
其中x∈(0，1)，ξ∈(0，x)，由φ'(x)单调减少可得φ'(x)-φ'(ξ)＜0，因此[*]，故[*]在(0，1]单调减少，从而当x∈(0，1)时有
[*]
于是 φ(1)x＜φ(x)＜φ'(0)x
方法2。由于
φ(x)-φ'(0)x=[φ(x)-φ(0)]-φ'(0)x
=xφ'(ξ)-xφ'(0)=x[φ'(ξ)-φ'(0)]＜0，
其中x∈(0，1)，ξ∈(0，x)，因此有
φ(x)＜φ'(0)x (x∈(0，1))
令F(x)=φ(x)-φ(1)x[*]F(x)可导，且F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知[*]x0∈(0，1)，F'(x0)=0，又F'(x)=φ'(x)-φ(1)在(0，1)单调减少，于是
[*]
[*]F(x)＞0(x∈(0，1))，即φ(x)＞φ(1)x(x∈(0，1))
[*]
考察 [*]
其中x∈(0，1)，ξ∈(0，x)，由φ'(x)单调减少可得φ'(x)-φ'(ξ)＜0，因此[*]，故[*]在(0，1]单调减少，从而当x∈(0，1)时有
[*]
于是 φ(1)x＜φ(x)＜φ'(0)x
方法2。由于
φ(x)-φ'(0)x=[φ(x)-φ(0)]-φ'(0)x
=xφ'(ξ)-xφ'(0)=x[φ'(ξ)-φ'(0)]＜0，
其中x∈(0，1)，ξ∈(0，x)，因此有
φ(x)＜φ'(0)x (x∈(0，1))
令F(x)=φ(x)-φ(1)x[*]F(x)可导，且F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知[*]x0∈(0，1)，F'(x0)=0，又F'(x)=φ'(x)-φ(1)在(0，1)单调减少，于是
[*]
[*]F(x)＞0(x∈(0，1))，即φ(x)＞φ(1)x(x∈(0，1))
【答案解析】
问答题
若φ(1)≥0，φ'(0)≤1，任取x0∈(0，1)，令xn=φ(xn-1)，n=1，2，…，证明
【正确答案】xn∈(0，1)，由xn+l=φ(xn)＜φ'(0)xn≤xn知{xn}单调减少，又由
xn+1=φ(xn)＞φ(1)xn＞…＞φn+1(1)x0≥0
知{xn}有下界，故[*]存在，
设[*]，则1＞A≥0，由xn=φ(xn-1)，令n→∞得A=φ(A)，若A∈(0，1)，则有A=φ(A)＜φ'(0)A≤A，矛盾，故A=0，即[*]
xn+1=φ(xn)＞φ(1)xn＞…＞φn+1(1)x0≥0
知{xn}有下界，故[*]存在，
设[*]，则1＞A≥0，由xn=φ(xn-1)，令n→∞得A=φ(A)，若A∈(0，1)，则有A=φ(A)＜φ'(0)A≤A，矛盾，故A=0，即[*]
【答案解析】
问答题
设D是由直线y=x+3，
围成的平面区域，计算二重积分
围成的平面区域，计算二重积分
【正确答案】由题设知[*]从而
[*]
【答案解析】