问答题
已知α
1
，α
2
，α
3
是非齐次线性方程组3个不同的解，证明：
问答题
α
1
，α
2
，α
3
中任何两个解向量均线性无关；
【正确答案】
【答案解析】[证明] (反证法)如果α
1
，α
2
线性相关，不妨设α
2
=kα
1
，那么
Aα
2
=A(kα
1
)=kAα
1
=kb．
又Aα
2
=b，于是k=1，与α
1
，α
2
不同相矛盾．
问答题
如果α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则α
1
-α
2
，α
1
-α
3
线性相关．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 如果α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则有不全为0的k
1
，k
2
，k
3
使k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0，那么
(k
1
+k
2
+k
3
)α
1
=k
2
(α
1
-α
2
)+k
3
(α
1
-α
3
)．
由于α
1
是非齐次方程组Ax=b的解，而α
1
-α
2
，α
1
-α
3
是齐次方程组Ax=0的解，α
1
不能由α
1
-α
2
，α
1
-α
3
线性表出，故必有k
1
+k
2
+k
3
=0，那么
k
2
(α
1
-α
2
)+k
3
(α
1
-α
3
)=0．
此时k
2
，k
3
不全为0(否则亦有k
1
=0，与k
1
，k
2
，k
3
不全为0相矛盾)，故α
1
-α
2
，α
1
-α
3
线性相关．