解答题
20.设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的x，有g'(x)≠0，则在(a，b)内存在一个ξ，使
【正确答案】先找出辅助函数F(x)．下面用凑导数法求之．将待证等式中的ξ改为x，式①化为
f(x)[g(b)一g(x)]一g'(x)[f(x)一f(a)]=0，②
即 [f(x)一f(a)]'[g(b)一g(x)]+[f(x)一f(a)]．[g(6)一g(x)]'=0，
亦即 {[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)])'一0．
因而应作 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．
令 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．
下面对F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有
F(a)=0，F(b)=0．
又F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0，
即 f'(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)一f(a)]g'(ξ)=0．
由g'＜(ξ)≠0得到
f(x)[g(b)一g(x)]一g'(x)[f(x)一f(a)]=0，②
即 [f(x)一f(a)]'[g(b)一g(x)]+[f(x)一f(a)]．[g(6)一g(x)]'=0，
亦即 {[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)])'一0．
因而应作 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．
令 F(x)=[f(x)一f(a)][g(b)一g(x)]．
下面对F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有
F(a)=0，F(b)=0．
又F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理知，存在ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0，
即 f'(ξ)[g(b)一g(ξ)]一[f(ξ)一f(a)]g'(ξ)=0．
由g'＜(ξ)≠0得到
【答案解析】