问答题
设
且B=P
-1
AP．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)当
且B=P
-1
AP．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)当
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)由矩阵A的特征多项式
得矩阵A的特征值λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =-3．
由齐次线性方程组(E-A)x=0，
得基础解系η 1 =(-4，1，2) T
由齐次方程组(-3E-A)x=0，
得基础解系η 2 =(-2，1，1) T ．
因此，矩阵A关于特征值λ 1 =λ 2 =1的特征向量为k 1 (-4，1，2) T ，k 1 ≠0；而关于特征值λ=-3的特征向量为k 2 (-2，1，1) T ，k 2 ≠0．
(Ⅱ)
(Ⅲ)由P -1 AP=B有P -1 A 100 P=B 100 ，故A 100 =PB 100 P -1 又
于是
得矩阵A的特征值λ 1 =λ 2 =1，λ 3 =-3．
由齐次线性方程组(E-A)x=0，
得基础解系η 1 =(-4，1，2) T
由齐次方程组(-3E-A)x=0，
得基础解系η 2 =(-2，1，1) T ．
因此，矩阵A关于特征值λ 1 =λ 2 =1的特征向量为k 1 (-4，1，2) T ，k 1 ≠0；而关于特征值λ=-3的特征向量为k 2 (-2，1，1) T ，k 2 ≠0．
(Ⅱ)
(Ⅲ)由P -1 AP=B有P -1 A 100 P=B 100 ，故A 100 =PB 100 P -1 又
于是