问答题
问答题
设r个n维向量α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，β是n维向量，且α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性相关．证明：β可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出，且表出法唯一．
【正确答案】
【答案解析】[证] 因α
1
，α
2
，…，α
r
，β线性相关，由定义，存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
r
，k
r+1
，使得
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k r α r +k r+1 β=0 (1)
其中k r+1 ≠0．
(若k r+1 =0，则(1)式为
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k r α r =0 (2)
因α 1 ，α 2 ，…，α r 线性无关，(2)成立，当且仅当k 1 =k 2 =…=k r =0．
这和α 1 ，α 2 ，…，α，β线性相关，k 1 ，k 2 ，…，k r+1 不全为零矛盾．)
故β可由α 1 ，α 2 ，…，α r 线性表出，且
其中
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k r α r +k r+1 β=0 (1)
其中k r+1 ≠0．
(若k r+1 =0，则(1)式为
k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k r α r =0 (2)
因α 1 ，α 2 ，…，α r 线性无关，(2)成立，当且仅当k 1 =k 2 =…=k r =0．
这和α 1 ，α 2 ，…，α，β线性相关，k 1 ，k 2 ，…，k r+1 不全为零矛盾．)
故β可由α 1 ，α 2 ，…，α r 线性表出，且
其中
问答题
设A是n×r矩阵，r(A)=r．若方程组AX=b有解，证明方程组AX=b必有唯一解，并求其解．
【正确答案】
【答案解析】[证] 将A以列分块，设A=[α
2
，α
2
，…，α
r
]，故知α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关．若方程组AX=b有解，即b可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出，即α
1
，α
2
，…，α
r
，b线性相关．则由(1)知b可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出，且表出法唯一．即方程组AX=b必有唯一解．方程组两边左乘A
T
，得
A T AX=A T b．
因r(A T A) r×r =r(A)=r，故A T A是可逆阵，上式两边左乘(A T A) -1 ，得方程组的唯一解为
X=(A T A) -1 A T b．
A T AX=A T b．
因r(A T A) r×r =r(A)=r，故A T A是可逆阵，上式两边左乘(A T A) -1 ，得方程组的唯一解为
X=(A T A) -1 A T b．