问答题设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明：

问答题 E-A和(E+A)^-1相乘可交换．

【正确答案】[证明] 因
(E-A)(E+A)=E-A²=(E+A)(E-A)，
两边分别左乘、右乘(E+A)^-1得到
(E+A)^-1(E-A)(E+A)(E+A)^-1=(E+A)^-1(E+A)(E-A)(E+A)^-1,
故(E+A)^-1(E-A)=(E-A)(E+A)^-1，
即E-A与(E+A)^-1相乘可交换．

【答案解析】[解析] 利用(E-A)(E+A)=(E+A)(E-A)及矩阵乘法运算证之

问答题若A为反对称矩阵，则(E-A)(E+A)^-1是正交矩阵．

【正确答案】为证(E-A)(E+A)^-1为正交矩阵，只需证
[(E-A)(E+A)^-1]^T=[(E-A)(E+A)^-1]^-1.
事实上
[(E-A)(E+A)^-1]^T=[(E+A)^-1(E-A)]^T=(E-A)^T[(E+A)^-1]^T
=(E-A^T)[(E+A)^T]^-1=(E-A^T)(E+A^T)^-1
=(E+A)(E-A)^-1(A为反对称矩阵，A^T=-A)，
而[(E-A)(E+A)^-1]^-1=[(E+A)^-1]^-1(E-A)^-1
=(E+A)(E-A)^-1，
故[(E-A)(E+A)^-1]^T=[(E-A)(E+A)^-1]^-1，
所以(E-A)(E+A)^-1为正交矩阵．

【答案解析】[解析] 利用正交矩阵的守义(AA^T=E，即A^-1=A^T)证之．