解答题
20.二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2—8x1x3—4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+by22一4y32，求：
(1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．
(1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．
【正确答案】(1)令
则f(x1，x2，x3)=XTAX，
矩阵A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=一4，
从而
特征值为λ1=λ2=5，λ3=一4．
(2)将λ1=λ2=5代入(λE—A)X=0，即(5E—A)X=0，
由5E—A=
得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为
将λ3=一4代入(λE—A)X=0，即(4E+A)X=0，
由4E+A=
得λ3=一4对应的线性无关的特征向量为
所求的正交变换矩阵为
则f(x1，x2，x3)=XTAX，矩阵A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=一4，
从而
特征值为λ1=λ2=5，λ3=一4．(2)将λ1=λ2=5代入(λE—A)X=0，即(5E—A)X=0，
由5E—A=
得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为将λ3=一4代入(λE—A)X=0，即(4E+A)X=0，
由4E+A=
得λ3=一4对应的线性无关的特征向量为所求的正交变换矩阵为
【答案解析】