问答题
已知齐次线性方程组(I)为
【正确答案】正确答案：(1)对齐次线性方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，得
故其同解方程组为
由此解得方程组(I)的基础解系为 η
1
=[2，一1，1，0]
T
，η
2
=[一1，1，0，1]
T
． (2)由(1)解得方程组(I)的基础解系η
1
，η
2
．于是，方程组(I)的通解为 k
1
η
1
+k
2
η
2
=k
1
[2，一1，1，0]
T
+k
2
[一1，1，0，1]
T
(k
1
，k
2
为任意常数)． 由题设知，方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ
1
，ξ
2
，其通解为 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
=l
1
[一1，1，2，4]
T
+l
2
[1，0，1，1]
T
(l
1
，l
2
为任意常数)． 为求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，令它们的通解相等，即 k
1
[2，一1，1，0]
T
+k
2
[一1，1，0，1]
T
=l
1
[一1，1，2，4]
T
+l
2
[1，0，1，1]
T
． 从而，得到关于k
1
，k
2
，l
1
，l
2
的方程组
对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得
故其同解方程组为
由此解得方程组(I)的基础解系为 η
1
=[2，一1，1，0]
T
，η
2
=[一1，1，0，1]
T
． (2)由(1)解得方程组(I)的基础解系η
1
，η
2
．于是，方程组(I)的通解为 k
1
η
1
+k
2
η
2
=k
1
[2，一1，1，0]
T
+k
2
[一1，1，0，1]
T
(k
1
，k
2
为任意常数)． 由题设知，方程组(Ⅱ)的基础解系为ξ
1
，ξ
2
，其通解为 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
=l
1
[一1，1，2，4]
T
+l
2
[1，0，1，1]
T
(l
1
，l
2
为任意常数)． 为求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，令它们的通解相等，即 k
1
[2，一1，1，0]
T
+k
2
[一1，1，0，1]
T
=l
1
[一1，1，2，4]
T
+l
2
[1，0，1，1]
T
． 从而，得到关于k
1
，k
2
，l
1
，l
2
的方程组
对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得
【答案解析】