单选题设f(x，y)为连续函数，交换累次积分∫ ₀ ^2π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy的次序为先x后y成为( )

A、 ∫ ₀ ¹ dy∫ _arcsiny ^π-arcsiny f(x y)dx+∫ _-1 ⁰ dy∫ _π-arcsiny ^2π+arcsiny f(x，y)dx
B、 ∫ ₀ ¹ dy∫ _arcsiny ^π-arcsiny f(x y)dx-∫ _-1 ⁰ dy∫ _π-arcsiny ^2π+arcsiny f(x，y)dx
C、 ∫ ₀ ¹ dy∫ _arcsiny ^π-arcsiny f(x y)dx+∫ _-1 ⁰ dy∫ _π+arcsiny ^2π-arcsiny f(x，y)dx
D、 ∫ ₀ ¹ dy∫ _arcsiny ^π-arcsiny f(x y)dx-∫ _-1 ⁰ dy∫ _π+arcsiny ^2π-arcsiny f(x，y)dx

【正确答案】 B

【答案解析】解析：在区间[0，2π]上，∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy的上限sin x可能小于下限0．所以∫ ₀ ^2π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy只是一个累次积分，而不是一个二重积分，所以应先变形，化成两个二重积分，即 ∫ ₀ ^2π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy=∫ ₀ ^π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy+∫ _π ^2π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy =∫ ₀ ^π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy—∫ _π ^2π dx∫ _sinx ⁰ f(x，y)dy．交换积分次序，有 ∫ ₀ ^π dx∫ ₀ ^sinx f(x，y)dy=∫ ₀ ¹ dy∫ _arcsiny ^π-arcsiny f(x，y)dx， ∫ ₀ ^2π dx∫ _sinx ⁰ f(x，y)dy=∫ _-1 ⁰ dy∫ _π-arcsiny ^2π+arcsiny f(x，y)dx，故选(B)．