问答题
已知A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量组，满足
Aα 1 =-α 1 -3α 2 -3α 3 ，Aα 2 =4α 1 +4α 2 +α 3 ，Aα 3 =-2α 1 +3α 3 ．
Aα 1 =-α 1 -3α 2 -3α 3 ，Aα 2 =4α 1 +4α 2 +α 3 ，Aα 3 =-2α 1 +3α 3 ．
问答题
求A的特征值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 记P=(α
1
，α
2
，α
3
)，因为α
1
，α
2
，α
3
是线性无关，所以P是可逆矩阵．
AP=(Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 )=(-α 1 -3α 2 -3α 3 ，4α 1 +4α 2 +α 3 ，-2α 1 +3α 3 )
(此处用了矩阵分解)
记
，则AP=PB，即P
-1
AP=B，A与B相似，特征值一样．
AP=(Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 )=(-α 1 -3α 2 -3α 3 ，4α 1 +4α 2 +α 3 ，-2α 1 +3α 3 )
(此处用了矩阵分解)
记
，则AP=PB，即P
-1
AP=B，A与B相似，特征值一样．
问答题
求A的特征向量．
【正确答案】
【答案解析】思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P
-1
APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．)
对于特征值1：
，B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1，1，1)
T
，c≠0．
则A的属于特征值1的特征向量为c(α 1 +α 2 +α 3 ) T ，c≠0．
对于特征值2：
，B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)
T
，c≠0．
则A的属于特征值2的特征向量为c(2α 1 +3α 2 +3α 3 ) T ，c≠0．
对于特征值3：
对于特征值1：
，B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1，1，1)
T
，c≠0．
则A的属于特征值1的特征向量为c(α 1 +α 2 +α 3 ) T ，c≠0．
对于特征值2：
，B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)
T
，c≠0．
则A的属于特征值2的特征向量为c(2α 1 +3α 2 +3α 3 ) T ，c≠0．
对于特征值3：
问答题
求A*-6E的秩．
【正确答案】
【答案解析】由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值为6，3，2，A*-6E的特征值为0，-3，-4．
于是
于是