问答题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
36. 求矩阵B，使A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]B；
由题设条件，有
A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3]=[α1，α2，α3][*]
所以，[*]．
A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3]=[α1，α2，α3][*]
所以，[*]．
37. 求A的特征值；
记矩阵C=[α1，α2，α3]，则由(1)知AC=CB，又因α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，知C为3阶可逆方阵，故得C-1AC=B，计算可得B特征值为λ1=λ2=1，λ3=4，因相似矩阵有相同特征值，得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=4．
38. 求一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
对于λ1=λ2=1，解方程组(E-B)x=0，得基础解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；对应于λ3=4，解方程组(4E-B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵
[*]
则有
[*]，
因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵
P=CQ=[α1，α2，α3][*]
=[-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3]
则有P-1AP=diag(1，1，4)，故P为所求的可逆矩阵．
[*]
则有
[*]，
因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，记矩阵
P=CQ=[α1，α2，α3][*]
=[-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3]
则有P-1AP=diag(1，1，4)，故P为所求的可逆矩阵．
问答题
求矩阵B，使A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
，α
2
，α
3
]B；
【正确答案】
【答案解析】由题设条件，有
A[α 1 ，α 2 ，α 3 ]=[Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 ]=[α 1 +α 2 +α 3 ，2α 2 +α 3 ，2α 2 +3α 3 ]=[α 1 ，α 2 ，α 3 ]
所以，
A[α 1 ，α 2 ，α 3 ]=[Aα 1 ，Aα 2 ，Aα 3 ]=[α 1 +α 2 +α 3 ，2α 2 +α 3 ，2α 2 +3α 3 ]=[α 1 ，α 2 ，α 3 ]
所以，
问答题
求A的特征值；
【正确答案】
【答案解析】记矩阵C=[α
1
，α
2
，α
3
]，则由(1)知AC=CB，又因α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，知C为3阶可逆方阵，故得C
-1
AC=B，计算可得B特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=4，因相似矩阵有相同特征值，得A的特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=4．
问答题
求一个可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
【正确答案】
【答案解析】对于λ
1
=λ
2
=1，解方程组(E-B)x=0，得基础解系ξ
1
=(-1，1，0)
T
，ξ
2
=(-2，0，1)
T
；对应于λ
3
=4，解方程组(4E-B)x=0，得基础解系ξ
3
=(0，1，1)
T
．令矩阵
则有
，
因Q -1 BQ=Q -1 C -1 ACQ=(CQ) -1 A(CQ)，记矩阵
P=CQ=[α 1 ，α 2 ，α 3 ]
则有
，
因Q -1 BQ=Q -1 C -1 ACQ=(CQ) -1 A(CQ)，记矩阵
P=CQ=[α 1 ，α 2 ，α 3 ]