解答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=x．
【正确答案】
【答案解析】[证] 令F(x)=f(x)-x，由题设可知F(x)在[0，1]上连续，又由于0＜f(x)＜1，所以
F(0)=f(0)-0＞0， F(1)=f(1)-1＜0，
由闭区间上连续函数的零值定理可知，在(0，1)内至少有一点x，使F(x)=0，即f(x)=x．用反证法证F(x)在(0，1)内至多有一个零点．
若不然，
∈(0，1)，x1＜x2，使得
f(x1)=x1， f(x2)=x2，
由拉格朗日中值定理，至少存在一个x∈(x1，x2)
(0，1)使得
F(0)=f(0)-0＞0， F(1)=f(1)-1＜0，
由闭区间上连续函数的零值定理可知，在(0，1)内至少有一点x，使F(x)=0，即f(x)=x．用反证法证F(x)在(0，1)内至多有一个零点．
若不然，
∈(0，1)，x1＜x2，使得f(x1)=x1， f(x2)=x2，
由拉格朗日中值定理，至少存在一个x∈(x1，x2)
(0，1)使得