问答题
设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A
k
X=0的一个解，但是A
k-1
α≠0．证明α，Aα，…，A
k-1
α线性无关．
【正确答案】正确答案：用定义证明． 方法一 设c
1
α+c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0，要推出每个c
i
=0． 先用A
k-1
乘上式两边，注意到当m≥k时，A
m
α=0(因为A
k
X=0)，得到c
1
A
k-1
α=0．又因为A
k-1
α≠0，所以c
1
=0．上式变为c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0．再用A
k-2
左乘之，可得到c
2
=0．如此进行下去，可证明每个c
i
=0． 方法二 用反证法．如果α，Aα，…，A
k-1
α线性相关，则存在不全为0的c
1
，c
2
，…，c
k
，使得c
1
α+c
2
Aα+…+c
k
A
k-1
α=0，设其中第一个不为0的系数是c
i
，则c
i
A
i-1
α+…+c
k
A
k-1
α=0，用A
k-i
乘之，得c
i
A
k-1
α=0．从而A
k-1
α=0，与条件矛盾．