解答题
20.设函数f(x)在区间[－1，1]上有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0，证明：在(－1，1)内至少存在一点ξ，使得f′"(ξ)=3．
【正确答案】将f(x)在x=0处展成泰勒公式，
当x=±1时，有
上面两式相减得 f′"(η1)+f′"(η2)=6．
由f′"(x)的连续性知，f′"(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，则
再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1]
(－1，1)，使
当x=±1时，有
上面两式相减得 f′"(η1)+f′"(η2)=6．
由f′"(x)的连续性知，f′"(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，则
再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1]
(－1，1)，使【答案解析】