解答题
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲面由x2+y2=2y(y≥
)，x2+y2=1(y≤
)，x2+y2=1(y≤
问答题
求容器的容积；
【正确答案】
【答案解析】[解] 方法一：直接求体积
由题意可得曲线的方程可表示为
由旋转体体积公式得
方法二：利用对称性
由于容器是对称的，求旋转体体积时可以只求-1≤y≤
的部分．
当-1≤y≤
时，曲线方程可表示为
由旋转体体积公式得
由题意可得曲线的方程可表示为
由旋转体体积公式得
方法二：利用对称性
由于容器是对称的，求旋转体体积时可以只求-1≤y≤
的部分．当-1≤y≤
时，曲线方程可表示为由旋转体体积公式得
问答题
若将容器内的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?
(长度单位为m；重力加速度为gm/s2；水的密度为103kg/m3)
(长度单位为m；重力加速度为gm/s2；水的密度为103kg/m3)
【正确答案】
【答案解析】采用微元法
取微元Δy，对于任意区间[y，y+dy]对应水的体积微元为πf2(y)dy，水的质量微元为ρgπf2(y)dy(ρ为水的密度)，其升高的距离为dy=2-y，需要做的功为
dW=ρgπf2(y)(2-y)dy
故抽出全部水所需要做的功为
取微元Δy，对于任意区间[y，y+dy]对应水的体积微元为πf2(y)dy，水的质量微元为ρgπf2(y)dy(ρ为水的密度)，其升高的距离为dy=2-y，需要做的功为
dW=ρgπf2(y)(2-y)dy
故抽出全部水所需要做的功为