问答题
证明：f(x，y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件g(x，y)=
【正确答案】正确答案：因为f(x，y)在全平面连续，
为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值． 设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)分别为最大值点和最小值点，令 L(x，y，λ)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
+
则(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)应满足方程
记相应λ为λ
1
，λ
2
，则(x
1
，y
1
，λ
1
)满足
解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+Cy
1
2
．同理λ
2
=Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
即λ
1
，λ
2
是f(x，y)在椭圆
上的最大值和最小值． 又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即
为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值． 设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)分别为最大值点和最小值点，令 L(x，y，λ)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
+
则(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)应满足方程
记相应λ为λ
1
，λ
2
，则(x
1
，y
1
，λ
1
)满足
解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+Cy
1
2
．同理λ
2
=Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
即λ
1
，λ
2
是f(x，y)在椭圆
上的最大值和最小值． 又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即
【答案解析】