设f(u，v)具有连续偏导数，且f"
u
(u，v)+f"
u
(u，v)=sin(u+v)e，求y(x)=e
—2x
f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解．
【正确答案】正确答案：由y(x)=e
—2x
f(x，x)，有 y"(x)=一2e
—2x
f(x，x)+e
—2x
[f"
1
(x，x)+f"
2
(x，x)]， 由f"
u
(u，v)+f"
v
(u，v)=sin(u+v)e
u+v
可得 f"
1
(x，x)+f"
2
(x，x)=(sin2x)e
2x
． 于是y(x)满足一阶线性微分方程 y"(x)+2y(x)=sin2x． 通解为 y(x)=e
—2x
[∫sin2x.e
2x
dx+C]， 由分部积分公式，可得
【答案解析】